Formule de Manning-Strickler pour les canaux à surface libre
La formule de Manning-Strickler donne la vitesse moyenne de l'écoulement uniforme dans un canal à surface libre à partir de trois éléments : la forme de la section mouillée, la pente du radier et la rugosité du revêtement. Multipliez la vitesse par la section mouillée et vous obtenez le débit. C'est la formule de travail derrière presque tous les fossés de drainage, canaux de dérivation et canaux revêtus, et le calculateur ci-dessous la résout dans les deux sens : le débit que transporte une hauteur d'eau donnée, ou la hauteur normale qu'exige un débit donné.
Calculateur Manning-Strickler : débit et hauteur normale en canal à surface libre
Débit et vitesse dans un canal trapézoïdal, rectangulaire ou triangulaire à partir de la hauteur d'eau, ou hauteur normale pour le débit à faire passer. Choisissez un revêtement pour obtenir un n de Manning typique, ou saisissez le vôtre.
Formule: Q = (1/n) · A · R^(2/3) · √S · R = A / P · Fr = V / √(g · A / T)
Q : débit · n : coefficient de rugosité de Manning (K = 1/n : coefficient de Strickler) · A : section mouillée · P : périmètre mouillé · R = A / P : rayon hydraulique · S : pente du radier (m/m) · T : largeur au miroir · g : pesanteur
Écoulement uniforme : même section, même pente et même revêtement sur tout le bief, ligne d'eau parallèle au radier. Les valeurs de n sont des valeurs de projet typiques, non des mesures de votre canal. Entre Froude 0,9 et 1,1 la ligne d'eau est instable ; le remous d'un ponceau ou d'un seuil n'est pas modélisé ici.
Un canal réel change de pente et de section le long de son tracé. Concevez-le profil par profil sur le terrain levé : Logiciel de conception de canaux
La formule
En unités SI, la formule de Manning s'écrit V = (1/n) · R^(2/3) · S^(1/2), et le débit vaut Q = V · A. V est la vitesse moyenne en m/s, n le coefficient de rugosité de Manning, R le rayon hydraulique en mètres, S la pente du radier exprimée en rapport (0,001 pour 0,1 %) et A la section mouillée en m². Avec le coefficient de Strickler K = 1/n, la même formule devient V = K · R^(2/3) · S^(1/2).
Le rayon hydraulique est la section mouillée divisée par le périmètre mouillé, R = A / P. C'est le terme qui récompense une section compacte : à section égale, moins l'eau touche de revêtement, plus elle va vite.
En unités américaines, la même formule s'écrit V = (1,486/n) · R^(2/3) · S^(1/2), avec des pieds et des ft³/s. Le 1,486 n'est pas une autre formule. C'est la racine cubique de 3,2808, le nombre de pieds dans un mètre, et il est là pour que le même n serve dans les deux systèmes.
| Section | Section mouillée A | Périmètre mouillé P | Largeur au miroir T |
|---|---|---|---|
| Trapézoïdale | (b + z·y)·y | b + 2·y·√(1 + z²) | b + 2·z·y |
| Rectangulaire | b·y | b + 2·y | b |
| Triangulaire (V) | z·y² | 2·y·√(1 + z²) | 2·z·y |
Un exemple chiffré
Prenez un canal trapézoïdal revêtu de béton, avec un radier de 2 m, des talus à 1,5 horizontal pour 1 vertical, une pente du radier de 0,1 % et 1 m de hauteur d'eau. Avec n = 0,014, la section mouillée vaut 3,5 m², le périmètre mouillé 5,61 m et le rayon hydraulique 0,624 m.
La formule de Manning donne une vitesse de 1,65 m/s et un débit de 5,78 m³/s. Ce sont les valeurs avec lesquelles s'ouvre le calculateur ci-dessus : vous pouvez modifier une donnée à la fois et voir ce qui bouge.
Changez seulement le revêtement pour du béton projeté (n = 0,017) et la même section, à la même hauteur d'eau, transporte 4,76 m³/s, soit environ 18 % de moins. Le débit est inversement proportionnel à n : aucune autre donnée de la formule n'est choisie avec si peu de mesures à l'appui, et aucune ne déplace le résultat aussi directement.
Choisir le n de Manning
Le n de Manning ne se calcule pas. Il se choisit selon la surface contre laquelle l'eau s'écoule, et les tableaux publiés donnent pour chaque surface une plage, non une valeur unique. Les chiffres ci-dessous sont des valeurs de projet typiques, du genre de celles que l'on trouve dans ces tableaux ; ce sont les mêmes que le module de canaux de STREAM associe à chaque revêtement.
Dans un canal réel, trois choses font monter n au-dessus de la valeur du tableau : la végétation qui n'existait pas à la construction, les irrégularités des talus et du radier, et un écoulement peu profond sur de gros blocs. Un canal dimensionné avec le bas de la plage n'a de marge pour aucune d'elles.
La manière honnête de traiter l'incertitude est de calculer le projet deux fois : une fois avec un n faible, pour comparer la vitesse à ce que supporte le revêtement, et une fois avec un n élevé, pour vérifier que la section garde sa capacité et sa revanche.
| Revêtement | n typique |
|---|---|
| Géomembrane (PEHD) | 0,012 |
| Béton | 0,014 |
| Béton projeté | 0,017 |
| Sable / sol meuble | 0,020 |
| Argile raide | 0,022 |
| Gravier | 0,025 |
| Enherbé / végétalisé | 0,035 |
| Enrochement, D50 = 150 mm | 0,035 |
| Enrochement, D50 = 300 mm | 0,040 |
| Enrochement grossier | 0,045 |
Hauteur normale : résoudre la formule à l'envers
Le projet part le plus souvent de l'autre bout. Le débit est connu, par une pluie de projet ou un débit de pompage, et la question est de savoir à quelle hauteur l'eau coulera. Cette hauteur est la hauteur normale : celle de l'écoulement uniforme pour un débit, une section, une pente et un revêtement donnés.
Pour une section rectangulaire ou trapézoïdale, la formule de Manning ne peut pas être réarrangée pour donner directement la hauteur, car celle-ci se trouve à la fois dans la section mouillée et dans le rayon hydraulique. On la résout par itération. Le débit croît continûment avec la hauteur, si bien qu'une simple dichotomie converge toujours vers la seule hauteur qui transporte le débit visé.
Dans le canal de l'exemple, 5 m³/s s'écoulent sous 0,93 m d'eau dans le béton. Revêtez le même canal d'un enrochement de 150 mm (n = 0,035) et les mêmes 5 m³/s exigent 1,47 m d'eau, à environ la moitié de la vitesse : 0,81 m/s au lieu de 1,59 m/s. Le revêtement décide de la profondeur du terrassement autant que le débit.
Nombre de Froude, hauteur critique et pente critique
Le nombre de Froude compare la vitesse à la célérité d'une petite onde de surface : Fr = V / √(g · A / T), où T est la largeur au miroir. En dessous de 1, l'écoulement est fluvial, profond et lent ; au-dessus de 1, il est torrentiel, mince et rapide, et il érode.
La hauteur critique est la hauteur pour laquelle Fr = 1 à un débit donné. Elle ne dépend que du débit et de la forme de la section, ni de la pente ni de la rugosité. Dans l'exemple, 5,78 m³/s ont une hauteur critique de 0,775 m pour une hauteur normale de 1 m : l'écoulement est fluvial, avec Fr = 0,63.
La pente critique est la pente du radier pour laquelle la hauteur normale égale la hauteur critique. Dans l'exemple, elle vaut 0,27 %. Posez le même canal à 0,5 % et 1 m d'eau file à 3,69 m/s avec Fr = 1,41 : écoulement torrentiel, avec un ressaut hydraulique partout où l'écoulement est forcé de redevenir fluvial.
Entre Fr 0,9 et 1,1 environ, la ligne d'eau est instable et de petites perturbations grossissent en ondes stationnaires. Le projet se tient à l'écart de cette bande, d'un côté ou de l'autre.
Ce que la formule ne dit pas
La formule de Manning décrit l'écoulement uniforme : une section, une pente et un revêtement, sur une longueur suffisante pour que la ligne d'eau soit parallèle au radier. Un ponceau, un seuil, une rupture de pente ou une courbe serrée rompent localement cette hypothèse, et la hauteur n'y est pas la hauteur normale.
Elle ne vérifie pas le revêtement. Une vitesse que la section peut transporter peut dépasser ce que supportent l'herbe ou un petit enrochement, et une vitesse trop faible laisse les sédiments se déposer. Ce sont deux vérifications distinctes, à faire au regard des limites du revêtement.
Elle n'inclut pas la revanche. La hauteur calculée est la ligne d'eau ; le canal est construit plus profond.
Et elle ignore le terrain. Un calcul isolé utilise une seule pente, alors qu'un canal réel suit un terrain qui change à chaque profil.
D'une section à un canal sur le terrain levé
Le module de canaux de STREAM applique la même formule le long de tout un tracé. Vous dessinez le canal sur le terrain levé et fixez la largeur du radier, la profondeur, les talus gauche et droit et le revêtement ; la rugosité découle du revêtement. Les cotes du radier viennent du terrain, de sorte que chaque profil a sa propre pente.
À chaque profil, il résout la hauteur normale et la vitesse avec Manning et indique à côté la hauteur critique, le nombre de Froude et la pente critique. Le résultat est ensuite vérifié au regard de la revanche, du régime d'écoulement, de l'envasement et de la vitesse admise par le revêtement, et chaque constat donne la valeur, la limite et le remède.
Le même projet fournit les quantités de déblai, de remblai et de revêtement à partir de l'intersection avec le terrain, ainsi qu'un tableau d'implantation. Tout s'exécute sur votre machine ; aucun levé n'est téléversé.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la formule de Manning-Strickler ?
La formule de Manning-Strickler donne la vitesse moyenne de l'écoulement uniforme dans un canal à surface libre : V = (1/n) · R^(2/3) · S^(1/2) en unités SI, où n est le coefficient de rugosité de Manning, R le rayon hydraulique (section mouillée divisée par le périmètre mouillé) et S la pente du radier. Avec le coefficient de Strickler K = 1/n, elle s'écrit V = K · R^(2/3) · S^(1/2). Le débit est la vitesse multipliée par la section mouillée, Q = V · A.
Pourquoi y a-t-il un 1,486 dans la formule de Manning ?
Il convertit la forme SI en unités américaines : V = (1,486/n) · R^(2/3) · S^(1/2) avec des pieds et des secondes. Le 1,486 est la racine cubique de 3,2808, le nombre de pieds dans un mètre, de sorte que la même valeur de n sert dans les deux systèmes d'unités.
Quel est le n de Manning d'un canal en béton ?
Une valeur de projet typique pour un canal revêtu de béton est 0,014, soit un coefficient de Strickler d'environ 71 ; le béton projeté est plus rugueux, vers 0,017, et une géomembrane plus lisse, vers 0,012. Les tableaux donnent une plage plutôt qu'un chiffre : vérifiez la valeur exigée par votre maître d'ouvrage et testez le projet avec un n plus élevé et un n plus faible.
Comment calcule-t-on la hauteur normale ?
La hauteur normale est la hauteur d'eau pour laquelle la formule de Manning restitue le débit de projet avec la section, la pente et la rugosité données. Pour une section trapézoïdale ou rectangulaire, elle ne se résout pas directement et se trouve par itération : le débit croît continûment avec la hauteur, et une dichotomie converge vers la seule hauteur qui transporte le débit. Le calculateur de cette page le fait.
Quelle est la différence entre hauteur normale et hauteur critique ?
La hauteur normale est celle de l'écoulement uniforme et dépend de la pente et de la rugosité ; la hauteur critique est celle pour laquelle le nombre de Froude vaut 1 et ne dépend que du débit et de la forme de la section. Si la hauteur normale est supérieure à la hauteur critique, l'écoulement est fluvial ; si elle est inférieure, il est torrentiel.
La formule de Manning s'applique-t-elle à un canal dont la pente varie ?
Seulement profil par profil. La formule suppose un écoulement uniforme ; sur un terrain réel, on la résout donc séparément partout où la pente, la section ou le revêtement changent. Le module de canaux de STREAM le fait à chaque profil d'un tracé dessiné sur le terrain levé et donne pour chacun la hauteur normale, la vitesse, la hauteur critique et le nombre de Froude.
Sources
Concevez un canal sur le terrain levé dans STREAM
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