Формула Маннинга для открытых каналов

В единицах СИ формула Маннинга имеет вид V = (1/n) · R^(2/3) · S^(1/2), а расход равен Q = V · A. V — средняя скорость, м/с; n — коэффициент шероховатости по Маннингу; R — гидравлический радиус, м; S — уклон дна в долях (0,001 для 0,1 %); A — площадь живого сечения, м². В отечественной литературе её чаще записывают через формулу Шези: V = C · √(R · S), где по Маннингу C = (1/n) · R^(1/6); это одна и та же зависимость.

Гидравлический радиус — это площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр: R = A / P. Именно этот член поощряет компактное сечение: при той же площади чем меньше облицовки касается вода, тем быстрее она течёт.

В американских единицах та же формула записывается как V = (1,486/n) · R^(2/3) · S^(1/2), с футами и фут³/с. 1,486 — это не другая формула, а кубический корень из 3,2808, числа футов в метре; он нужен, чтобы одно и то же n работало в обеих системах.

Возьмём трапецеидальный канал с бетонной облицовкой: ширина по дну 2 м, заложение откосов 1:1,5, уклон дна 0,1 %, глубина воды 1 м. При n = 0,014 площадь живого сечения равна 3,5 м², смоченный периметр — 5,61 м, гидравлический радиус — 0,624 м.

Формула Маннинга даёт скорость 1,65 м/с и расход 5,78 м³/с. С этими числами открывается калькулятор выше, так что можно менять по одной величине и смотреть, что сдвигается.

Замените только облицовку на набрызг-бетон (n = 0,017) — и то же сечение при той же глубине пропустит 4,76 м³/с, примерно на 18 % меньше. Расход обратно пропорционален n: ни одна другая величина в формуле не выбирается при столь малом числе измерений и ни одна не сдвигает результат так прямо.

Коэффициент n не вычисляют. Его выбирают по поверхности, вдоль которой течёт вода, а опубликованные таблицы дают для каждой поверхности диапазон, а не одно число. Ниже — типичные расчётные значения того рода, что приводятся в этих таблицах; те же значения модуль каналов STREAM привязывает к каждой облицовке.

В реальном канале n поднимают над табличным значением три вещи: растительность, которой не было при строительстве, неровности откосов и дна и мелкий поток по крупному камню. У канала, рассчитанного по нижней границе диапазона, нет запаса ни на одну из них.

Честный способ обойтись с этой неопределённостью — посчитать проект дважды: с малым n, чтобы сравнить скорость с допустимой для облицовки, и с большим n, чтобы убедиться, что у сечения остаются пропускная способность и запас.

Проектирование обычно начинается с другого конца. Расход известен — по расчётному ливню или по подаче насоса, — а вопрос в том, на какой глубине пойдёт вода. Эта глубина и есть нормальная: глубина равномерного потока при заданных расходе, сечении, уклоне и облицовке.

Для прямоугольного или трапецеидального сечения формулу Маннинга нельзя преобразовать так, чтобы получить глубину напрямую: глубина входит и в площадь, и в гидравлический радиус. Задачу решают подбором. Расход монотонно растёт с глубиной, поэтому простое деление отрезка пополам всегда сходится к единственной глубине, пропускающей нужный расход.

В канале из примера 5 м³/с идут при глубине 0,93 м в бетоне. Облицуйте тот же канал каменной наброской 150 мм (n = 0,035) — и тем же 5 м³/с понадобится 1,47 м воды при скорости примерно вдвое меньшей: 0,81 м/с вместо 1,59 м/с. Облицовка определяет глубину выемки не меньше, чем расход.

Число Фруда сравнивает скорость потока со скоростью малой волны на поверхности: Fr = V / √(g · A / T), где T — ширина по верху. При значении меньше 1 режим спокойный, глубокий и медленный; больше 1 — бурный, мелкий и быстрый, и он размывает русло.

Критическая глубина — это глубина, при которой Fr = 1 для данного расхода. Она зависит только от расхода и формы сечения, но не от уклона и шероховатости. В примере критическая глубина для 5,78 м³/с равна 0,775 м при нормальной глубине 1 м, то есть режим спокойный, Fr = 0,63.

Критический уклон — это уклон дна, при котором нормальная глубина равна критической. В примере он равен 0,27 %. Проложите тот же канал с уклоном 0,5 % — и вода глубиной 1 м пойдёт со скоростью 3,69 м/с при Fr = 1,41: бурный режим с гидравлическим прыжком везде, где поток вынужден вернуться к спокойному.

Примерно между Fr 0,9 и 1,1 свободная поверхность неустойчива, и малые возмущения вырастают в стоячие волны. Проект держат в стороне от этой полосы — по одну или по другую сторону.

Формула Маннинга описывает равномерное движение: одно сечение, один уклон и одна облицовка на участке, достаточно длинном, чтобы свободная поверхность шла параллельно дну. Труба, водослив, перелом уклона или крутой поворот локально нарушают это допущение, и глубина там не равна нормальной.

Она не проверяет облицовку. Скорость, которую сечение способно пропустить, может превышать ту, что выдерживают трава или мелкая наброска, а слишком малая скорость ведёт к заилению. Обе проверки выполняются отдельно, по пределам облицовки.

Она не включает запас. Вычисленная глубина — это уровень воды; канал строят глубже.

И она ничего не знает о местности. Отдельный расчёт использует один уклон, а реальный канал идёт по рельефу, который меняется на каждом пикете.

Модуль каналов STREAM применяет ту же формулу вдоль всей трассы. Вы рисуете канал на снятой поверхности и задаёте ширину по дну, глубину, левый и правый откосы и облицовку; шероховатость следует из облицовки. Отметки дна берутся с рельефа, поэтому у каждого пикета свой уклон.

На каждом пикете модуль находит нормальную глубину и скорость по Маннингу и рядом приводит критическую глубину, число Фруда и критический уклон. Затем результат проверяется по запасу, режиму потока, заилению и допустимой для облицовки скорости, и каждое замечание называет значение, предел и способ исправления.

Тот же проект даёт объёмы выемки, насыпи и облицовки по пересечению с поверхностью земли и разбивочную ведомость. Всё выполняется на вашем компьютере; съёмка никуда не загружается.